Calculadora de Black-Scholes

O que é uma calculadora de precificação de opções Black-Scholes?

Uma calculadora de precificação de opções Black-Scholes é uma ferramenta que calcula o valor teórico justo de uma opção europeia call e put a partir de cinco variáveis, usando o modelo Black-Scholes: o preço spot do ativo subjacente, o preço de exercício (strike), o tempo até ao vencimento, a volatilidade e a taxa de juro livre de risco. O modelo Black-Scholes é a fórmula fechada que transforma essas variáveis num único preço teórico, o valor que uma opção deveria ter hoje segundo os pressupostos do modelo. Foi publicado em 1973 por Fischer Black e Myron Scholes no artigo "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", com a estrutura alargada nesse mesmo ano por Robert Merton, trabalho reconhecido pelo Prémio Nobel Memorial de Ciências Económicas de 1997, atribuído a Scholes e Merton, tendo Black falecido em 1995. A versão que acrescenta um dividend yield contínuo é frequentemente chamada de modelo Black-Scholes-Merton. Além dos dois preços, a calculadora devolve as cinco Greeks da opção, as sensibilidades que mostram como o preço reage quando cada variável se move, motivo pelo qual um único contrato europeu usado na negociação de opções produz sete resultados numa só passagem, em vez de um.

Porque é importante a calculadora Black-Scholes para o trading?

A calculadora Black-Scholes é importante para o trading porque dá ao trader o valor teórico justo e a sensibilidade ao risco de uma opção antes de a comprar ou vender, transformando um prémio cotado em algo que pode avaliar em vez de simplesmente aceitar. O preço de uma opção não é óbvio apenas a partir do ativo subjacente: combina o spot, o strike, o tempo restante, a volatilidade e a taxa de juro num único número, e sem um modelo não há forma de saber se o prémio no ecrã está barato ou caro face ao valor justo. Ao precificar o contrato a partir dessas cinco variáveis, a calculadora responde à pergunta que importa no momento da decisão, que é saber se o mercado está a pedir um preço justo pelo risco que está prestes a assumir. Os traders recorrem a ela antes de a ordem ser colocada: para comparar uma cotação em tempo real com o preço teórico, para ver como o valor reagiria se a volatilidade, o tempo ou as taxas se movessem, e para compreender as Greeks que vão determinar o comportamento da posição depois de a possuírem. Ler o valor justo primeiro é o mesmo hábito consciente do risco que qualquer instrumento alavancado exige do trading online responsável.

Como se usa a calculadora Black-Scholes?

Para usar a calculadora Black-Scholes, introduza o preço spot, o preço de exercício, os dias até ao vencimento, a volatilidade e a taxa livre de risco, e a ferramenta devolve o preço teórico da call e da put, juntamente com as cinco Greeks.

Os passos para usar a calculadora Black-Scholes estão listados abaixo:

1. Introduza o preço spot. É o preço de mercado atual da ação ou índice subjacente, representado na fórmula por S.
2. Introduza o preço de exercício (strike). É o preço ao qual a opção pode ser exercida, representado por K, e é a referência face à qual o spot é medido.
3. Defina os dias até ao vencimento. É o número de dias de calendário que faltam até a opção expirar, que a ferramenta converte numa fração de ano.
4. Introduza a volatilidade. É a volatilidade anualizada esperada do ativo subjacente, em percentagem, normalmente a volatilidade implícita que o mercado está a precificar.
5. Introduza a taxa livre de risco. É a taxa de juro anual de um ativo seguro, como uma obrigação do Tesouro de curto prazo, introduzida em percentagem.

Em Avançado, pode acrescentar um dividend yield para uma ação ou um índice que pague dividendos, alternar a base de contagem de dias entre 365 dias de calendário e 252 dias de negociação, e definir a moeda; não existe um interruptor call/put porque a ferramenta precifica ambas ao mesmo tempo e recalcula todos os resultados quando prime Calculate.

Que fórmula usa a calculadora Black-Scholes?

A calculadora Black-Scholes usa a fórmula Black-Scholes, que precifica uma call e uma put a partir de dois termos intermédios, d1 e d2, passados pela distribuição normal cumulativa e combinados com o spot e o strike descontados.

Nestas fórmulas, S é o preço spot, K é o preço de exercício, T é o tempo até ao vencimento em anos (dias dividido pela base), σ (sigma) é a volatilidade, r é a taxa livre de risco, e q é o dividend yield; N() é a distribuição normal cumulativa, pelo que N(d2) é, em termos aproximados, a probabilidade neutra ao risco de a call terminar in-the-money. Substituindo no caso at-the-money a um ano, d1 = [ln(100/100) + (0,05 − 0 + 0,20²/2) × 1] / (0,20 × √1) = 0,35. Como um browser não tem tabelas de probabilidade, a calculadora calcula N(d) com uma aproximação polinomial padrão (Abramowitz e Stegun 26,2.17), com precisão superior a uma parte em dez milhões. A fórmula só é válida para uma opção europeia e assume que a volatilidade e a taxa de juro se mantêm constantes durante a vida da opção.

Qual é um exemplo de cálculo Black-Scholes?

Um exemplo de cálculo Black-Scholes é uma call at-the-money a um ano no valor de $10,45, calculado da seguinte forma:

1. d1 e d2. Com um spot de $100, strike de $100, um ano, 20% de volatilidade e uma taxa de 5%, T = 1 e σ√T = 0,20, pelo que d1 = (0 + (0,05 + 0,02) × 1) / 0,20 = 0,35 e d2 = 0,35 − 0,20 = 0,15.
2. Probabilidades normais. N(0,35) = 0.6368 e N(0,15) = 0.5596, e o fator de desconto é e^(−0,05) = 0.9512.
3. Preço da call = 100 × 0.6368 − 100 × 0.9512 × 0.5596 = 63,68 − 53,23 = $10,45.
4. Preço da put = $5,57, que resulta da paridade put-call, Call − Put = S × e^(−qT) − K × e^(−rT).

O cenário é uma opção europeia com strike at the money e sem dividendos, e a calculadora devolve $10,45 para a call e $5,57 para a put, os mesmos dois valores que o exemplo calculado à mão produz.

Como se lê o resultado da calculadora Black-Scholes?

Lê-se o resultado da calculadora Black-Scholes olhando para o preço da call e da put lado a lado, e depois verificando a moneyness, o rácio entre spot e strike (S/K), e o delta, que juntos indicam onde a opção se situa e como se vai comportar. A moneyness determina quanto do preço é valor intrínseco real e quanto é valor temporal, enquanto o delta indica quão de perto a opção acompanha o ativo subjacente.

No exemplo at the money, o delta de +0.6368 significa que a call ganha cerca de $0,64 por cada $1 que o subjacente sobe, a marca de uma opção com strike próximo do preço de mercado. Seja qual for a moneyness, uma linha aplica-se sempre: o theta custa dinheiro ao comprador todos os dias, cerca de $0.0176 por dia nesta call, porque o tempo trabalha contra quem detém a opção. Leia o resultado como uma fotografia do valor justo e do comportamento agora, e depois pese-o face à cotação de mercado antes de colocar a ordem.

Como é que a volatilidade afeta um cálculo Black-Scholes?

A volatilidade afeta diretamente um cálculo Black-Scholes porque uma volatilidade mais alta eleva tanto o preço da call como o da put, e é a variável à qual o preço é mais sensível, medida pela Greek vega. Mais volatilidade significa um leque mais amplo de resultados possíveis para o subjacente, logo uma maior probabilidade de a opção terminar in the money, o que vale mais para o detentor de uma call ou de uma put. É também a única variável que não se pode simplesmente consultar: o spot, o strike, o tempo e a taxa são todos observáveis, mas a volatilidade é uma previsão. Os traders normalmente usam a volatilidade implícita que o mercado já está a precificar nessa opção, em vez da volatilidade histórica que o subjacente apresentou no passado, porque a volatilidade implícita reflete o que o mercado espera para o futuro. É isto que torna a volatilidade a variável decisiva da precificação de opções: uma pequena alteração no valor introduzido move o preço teórico mais do que uma alteração equivalente em qualquer outro campo, pelo que uma estimativa honesta da volatilidade do mercado importa mais aqui do que em qualquer outro ponto do modelo.

Quais são os limites da calculadora Black-Scholes?

O principal limite da calculadora Black-Scholes é que produz uma estimativa teórica, não um preço de mercado, e essa estimativa é apenas tão boa quanto a volatilidade introduzida. O modelo precifica uma opção limpa e idealizada, pelo que várias características de um mercado real ficam de fora. Ignora o spread bid-ask, pelo que nunca negoceia efetivamente ao único valor justo que reporta. Assume volatilidade constante em todos os strikes, o que os mercados reais contradizem através do volatility skew (ou smile), em que a volatilidade implícita varia consoante o strike e o vencimento, um desvio bem documentado abordado em "Options, Futures, and Other Derivatives" de Hull. Trata os dividendos como um yield contínuo e suave, em vez dos dividendos discretos que são efetivamente pagos em datas fixas. E precifica apenas opções europeias, aquelas que só podem ser exercidas no vencimento, pelo que não capta o valor de exercício antecipado das opções americanas comuns em ações individuais dos EUA, que são precificadas em vez disso com árvores binomiais, o método introduzido por Cox, Ross e Rubinstein em 1979. Também assume uma taxa de juro constante e nada diz sobre se uma operação é uma boa ideia. Trate o resultado como um valor de referência bem fundamentado para comparar com uma cotação, não como uma garantia do que vai pagar ou receber, e lembre-se de que é informação educativa, não aconselhamento de investimento.

Como é que a calculadora Black-Scholes calcula as cinco Greeks da opção?

A calculadora Black-Scholes calcula as cinco Greeks da opção, delta, gamma, theta, vega e rho, cada uma medindo como o preço da opção reage quando uma variável se move e as outras se mantêm fixas. São a assinatura multi-resultado da calculadora, e a sua leitura indica como a posição se vai comportar depois de a possuir.

Leia-as como sensibilidades. O delta próximo de 0,5 marca uma opção at the money e sobe em direção a 1 à medida que uma call entra in the money; o gamma mede a rapidez com que esse delta se altera, pelo que é maior perto do strike e perto do vencimento. O theta é o custo diário do decaimento temporal, que acelera à medida que o vencimento se aproxima, enquanto o vega mostra que uma subida de 1 ponto na volatilidade implícita acrescenta cerca de $0,38 a esta opção, confirmando a volatilidade como a maior alavanca sobre o preço. O rho é normalmente a menor das cinco e é mais relevante em opções de longo prazo. O gamma e o vega são idênticos para a call e para a put, enquanto o delta, o theta e o rho têm sinais opostos em cada perna, motivo pelo qual a calculadora mostra ambos.

Qual é a diferença entre um cálculo Black-Scholes e um cálculo de lucro em opções?

Um cálculo Black-Scholes diferencia-se de um cálculo de lucro em opções naquilo que mede e em quando o mede: um cálculo Black-Scholes dá o valor teórico justo de uma opção agora, antes do vencimento, determinado pela volatilidade, pelo tempo e pelas taxas, enquanto um cálculo de lucro em opções dá o lucro ou prejuízo de uma posição no vencimento, determinado apenas pelo ponto onde o subjacente termina face ao strike.

A diferença prática é que as duas ferramentas respondem a perguntas diferentes e devolvem números diferentes para a mesma opção. A Black-Scholes diz-lhe quanto o contrato deveria valer hoje, para que possa avaliar o seu prémio cotado, enquanto um cálculo de lucro em opções diz-lhe quanto uma posição ganharia ou perderia se o subjacente atingisse um determinado preço no vencimento. Usa-se esta calculadora para precificar a opção antes de abrir a operação, e uma calculadora de lucro para mapear o payoff quando já se está a ponderar a saída.

Que calculadoras estão relacionadas com a calculadora Black-Scholes?

As calculadoras relacionadas com a calculadora Black-Scholes situam-se no mesmo fluxo de precificação e lucro em opções, desde o valor justo de um contrato antes do vencimento até ao lucro ou prejuízo que deixa quando uma posição fecha.

As calculadoras relacionadas com a calculadora Black-Scholes estão listadas abaixo:

• Calculadora de lucro em opções: calcula o lucro ou prejuízo no vencimento de uma posição em opções, o lado do payoff que esta ferramenta de precificação deixa de fora.
• Calculadora de covered call: modela a estratégia de rendimento de deter o ativo subjacente e vender uma call sobre ele, um primeiro passo comum na negociação de opções.
• Calculadora de lucro em ações: calcula o lucro ou prejuízo nas próprias ações subjacentes, sem a alavancagem que uma opção acrescenta.
• Calculadora de ganho percentual: expressa um resultado como retorno percentual, útil para comparar o desfecho de uma opção com o prémio arriscado.

FAQ

Esta ferramenta tem fins educativos, não é aconselhamento financeiro. O modelo Black-Scholes dá um preço teórico para uma opção europeia, e os preços reais de mercado diferem devido ao spread bid-ask, ao volatility skew, aos dividendos discretos e ao exercício antecipado. A negociação de opções comporta um risco elevado de perder dinheiro, incluindo a totalidade do prémio pago.